Hiện thực toán học

Chủ nghĩa hiện thực toán học, giống như chủ nghĩa hiện thực nói chung, cho rằng các thực thể toán học tồn tại độc lập với tâm trí con người. Do đó, con người không phát minh ra toán học mà chỉ khám phá ra nó, và bất kỳ sinh vật thông minh nào khác trong vũ trụ có lẽ cũng sẽ làm như vậy. Theo quan điểm này, thực sự có một loại toán học có thể được khám phá; ví dụ, hình tam giác là những thực thể thực sự, không phải là sáng tạo của tâm trí con người.

Nhiều nhà toán học làm việc đã là những nhà hiện thực toán học; họ thấy mình là người phát hiện ra các vật thể tự nhiên. Ví dụ bao gồm Paul Erdős và Kurt Gödel. Gôdel tin vào một thực tế toán học khách quan có thể được nhận thức theo cách tương tự như nhận thức. Một số nguyên tắc (ví dụ, đối với bất kỳ hai đối tượng nào, có một tập hợp các đối tượng bao gồm chính xác hai đối tượng đó) có thể được xem trực tiếp là đúng, nhưng giả thuyết liên tục có thể chứng minh không thể xác định được chỉ dựa trên các nguyên tắc đó. Gödel đề xuất rằng phương pháp bán thực nghiệm có thể được sử dụng để cung cấp đủ bằng chứng để có thể giả định một cách hợp lý một phỏng đoán như vậy.

Trong chủ nghĩa hiện thực, có những sự phân biệt tùy thuộc vào loại tồn tại mà người ta cần có các thực thể toán học để có và cách chúng ta biết về chúng. Các hình thức chính của chủ nghĩa hiện thực toán học bao gồm Platonism.

Toán học chống hiện thực

Toán học chống hiện thực nói chung cho rằng các phát biểu toán học có giá trị thật, nhưng chúng không làm như vậy bằng cách tương ứng với một lĩnh vực đặc biệt của các thực thể phi vật chất hoặc phi thực nghiệm. Các hình thức chính của chủ nghĩa chống hiện thực toán học bao gồm chủ nghĩa hình thức và chủ nghĩa hư cấu.